锐角 $A,B,C$ 满足 $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2$，求 $A+B+C$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pi$
【解析】
根据题意有$$\begin{split} &LHS=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}+1-2\sin^2\dfrac C2\\
&RHS=1+2\left(\cos\dfrac{A-B}{2}-\cos\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\dfrac C2\end{split}$$则$$RHS-LHS
=2\left(\sin\dfrac C2+\cos\dfrac{A-B}{2}\right)\left(\sin\dfrac C2-\cos\dfrac{A+B}{2}\right),$$而$$RHS-LHS=0,$$因此再考虑到 $A,B,C$ 均为锐角，则必有$$\sin\dfrac C2-\cos \dfrac{A+B}{2}=0,$$故$$A+B+C=\pi.$$
&RHS=1+2\left(\cos\dfrac{A-B}{2}-\cos\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\dfrac C2\end{split}$$则$$RHS-LHS
=2\left(\sin\dfrac C2+\cos\dfrac{A-B}{2}\right)\left(\sin\dfrac C2-\cos\dfrac{A+B}{2}\right),$$而$$RHS-LHS=0,$$因此再考虑到 $A,B,C$ 均为锐角，则必有$$\sin\dfrac C2-\cos \dfrac{A+B}{2}=0,$$故$$A+B+C=\pi.$$
答案
解析
备注
