已知 $A,B$ 分别是直线 $y=kx$ 与直线 $y=-kx$ 上的两点，其中 $k\neq 0$，且线段 $AB$ 为定长 $d$，若 $M$ 为线段 $AB$ 中点，求点 $M$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{4y^2}{k^2d^2}+\dfrac{4k^2x^2}{d^2}=1$
【解析】
根据题意分别设点 $A,B$ 的坐标为 $(m,km),(n,-kn)$，由于 $AB$ 为定长 $d$，故有$$(m-n)^2+k^2(m+n)^2=d^2,$$记 $M$ 点坐标为 $(x,y)$，则由 $M$ 是线段 $AB$ 中点可得$$(x,y)=\left(\dfrac{m+n}2,\dfrac{k(m-n)}{2}\right),$$于是$$\left(\dfrac{2y}{k}\right)^2+k^2(2x)^2=d^2,$$整理即得 $M$ 点轨迹方程$$\dfrac{4y^2}{k^2d^2}+\dfrac{4k^2x^2}{d^2}=1,$$由此可见若 $k^2=1$，则 $M$ 轨迹为圆，若 $k^2\neq 1$，则 $M$ 轨迹表示椭圆．
答案
解析
备注
