设 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$ 上的动点，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C$ 上的左右焦点，$I$ 为 $\Delta PF_1F_2$ 的内心，则直线 $IF_1$ 和直线 $IF_2$ 的斜率乘积是否为定值，如果是定值，求出该定值；否则请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
为定值 $-\dfrac{b^2}{(a+c)^2}$
【解析】
设 $\angle PF_1F_2=\alpha$，$\angle PF_2F_1=\beta,$，用 $e$ 表示该椭圆的离心率，则有$$ e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}},$$即有$$(1-e)\cos\dfrac \alpha 2\cos\dfrac \beta 2=(1+e)\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\beta}{2},$$进而$$\tan\dfrac\alpha 2\tan\dfrac \beta 2=\dfrac{1-e}{1+e},$$用 $k_1,k_2$ 分别表示直线 $PF_1,PF_2$ 的斜率，则有$$k_1k_2=-\tan\dfrac\alpha 2\tan\dfrac \beta 2=-\dfrac{b^2}{(a+c)^2}$$为定值．
答案
解析
备注
