设 $x\geqslant y\geqslant z\geqslant \dfrac{\pi}{12}$，且 $x+y+z=\dfrac{\pi}2$，求乘积 $\cos x \sin y\cos z$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $\dfrac{2+\sqrt3}{8}$，最小值为 $\dfrac18$
【解析】
根据已知条件有$$\begin{cases} y+z\geqslant \dfrac{\pi}6,\\ x\leqslant \dfrac{\pi}3,\\ \sin (x-y)\geqslant 0,\\\sin(y-z)\geqslant 0,\end{cases}$$故$$\begin{split}\cos x \sin y\cos z&=\dfrac12\cos x\left[\sin(y+z)+\sin(y-z)\right]\\&\geqslant\dfrac12\cos x\sin(y+z)\\&=\dfrac12\cos^2x\\&\geqslant\dfrac12\cos^2\dfrac{\pi}3\\&=\dfrac18.\end{split}$$且当$$\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{12}\right)$$时取到最小值 $\dfrac18$．又$$\begin{split} \cos x \sin y\cos z&=\dfrac12\cos z\cdot\left[\sin(x+y)-\sin(x-y)\right]\\
&\leqslant \dfrac12\cos z\sin(x+y)\\&=\dfrac12\cos^2z\\&\leqslant\dfrac12\cos^2\dfrac{\pi}{12}\\&=\dfrac{2+\sqrt3}{8}.\end{split}$$且当$$\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{5\pi}{24},\dfrac{5\pi}{24},\dfrac{\pi}{12}\right)$$时取到最大值 $\dfrac{2+\sqrt3}{8}$．
&\leqslant \dfrac12\cos z\sin(x+y)\\&=\dfrac12\cos^2z\\&\leqslant\dfrac12\cos^2\dfrac{\pi}{12}\\&=\dfrac{2+\sqrt3}{8}.\end{split}$$且当$$\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{5\pi}{24},\dfrac{5\pi}{24},\dfrac{\pi}{12}\right)$$时取到最大值 $\dfrac{2+\sqrt3}{8}$．
答案
解析
备注
