函数 $F(x)=|\cos^2x+2\sin x\cos x-\sin^2x+Ax+B|$ 在 $0\leqslant x\leqslant \dfrac32\pi$ 上的最大值 $M$ 与参数 $A,B$ 有关，问 $A,B$ 取什么值时 $M$ 最小？证明你的结论．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $A=B=0$ 时，$M$ 取得最小值 $\sqrt2$
【解析】
由已知化简得$$F(x)=\left|\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)+Ax+B\right|,x\in\mathbb R.$$若 $A=B=0$ 时$$F(x)=\sqrt2\left|\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)\right|,$$此时 $M$ 取得最小值 $\sqrt2$．以下给出证明：$$\forall A,B\in \mathbb R,M\geqslant \sqrt2.$$如果对于某一组 $(A,B)$，$M<\sqrt2$，那么$$\begin{cases} F\left(\dfrac{\pi}8\right)<\sqrt2,\\F\left(\dfrac{5\pi}8\right)<\sqrt2,\\F\left(\dfrac{9\pi}8\right)<\sqrt2, \end{cases}$$即有$$\begin{cases} \sqrt2+\dfrac{\pi A}8+B<\sqrt2,&& ① \\-\sqrt2+\dfrac{5\pi A}{8}+B>-\sqrt2,&& ② \\\sqrt2+\dfrac{9\pi A}{8}+B<\sqrt2, && ③ \end{cases}$$由 ① $ + $ ③ $ -2$ ② 得 $ 0<0$ 矛盾，将 ①②③ 中严格的不等式改为不严格的不等式，仍然导出矛盾，除非 ①②③ 全为等式，而 ①②③ 全为等式，即 $A=B=0$，因此 $M\geqslant \sqrt2$，当且仅当 $A=B=0$ 时，$M$ 取得最小值 $\sqrt2$．
答案
解析
备注
