已知实数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a,a\in\mathbb R$，$a_n=\dfrac{\sqrt3a_{n-1}+1}{\sqrt3-a_{n-1}},n\in\mathbb N^\ast $，求 $ a_{2013}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_{2013}=\dfrac{a+\sqrt3}{-\sqrt3a+1}$
【解析】
根据题意有$$a_n=\dfrac{a_{n-1}+\dfrac{\sqrt3}{3}}{1-\dfrac{\sqrt3}{3}a_{n-1}},n\in\mathbb N^\ast, $$易见上式与$$\tan\left(x+\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac{\tan x+\dfrac{\pi}6}{1-\tan x\tan\dfrac{\pi}{6}}$$十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现该数列周期为 $6$，于是$$a_{2013}=\dfrac{a+\sqrt3}{-\sqrt3a+1}.$$
答案
解析
备注
