设 $f$ 是从 $A=\{1,2,3,\cdots,1999\}$ 到 $A$ 的函数，并且 $a_1=f(1),a_{n+1}=f(a_n)$，求证：必存在 $k\in\mathbb N$，使得 $a_{2k}=a_k$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，则$$a_1,a_2,\cdots,a_{1999},a_{2000}$$中至少有两个相等．设$$a_i=a_j,j>i,$$则有$$\forall m\in N,a_{i+m}=a_{j+m}.$$所以 $\{a_n\}$ 是周期数列，设 $n\geqslant N_0$ 时$$a_{n+T}=a_n,T=j-i,$$令$$k=mT,k\geqslant N_0,$$则$$a_{2k}=a_k.$$于是证毕．
答案
解析
备注
