已知 $x$ 是整数，$F(x)=ax^2+bx+c$．问 $a,b,c$ 满足什么条件时 $F(x)$ 是整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} c\in\mathbb Z,\\ a+b\in\mathbb Z,\\ 2a\in\mathbb Z,\end{cases}$
【解析】
首先寻求必要条件．因为$$\forall x\in Z,F(x)\in\mathbb Z,$$所以$$F(0),F(1),F(2)\in\mathbb Z.$$即$$\begin{cases} c\in\mathbb Z\\
(a+b+c)\in \mathbb Z,\\
(4a+2b+c)\in \mathbb Z,
\end{cases}$$于是$$\begin{cases} c\in\mathbb Z,\\ a+b\in\mathbb Z,\\ 2a\in\mathbb Z,\end{cases}$$以下证明，当 $c,a+b,2a$ 均为整数时，对任何整数 $x$，$F(x)$ 是整数．事实上$$\begin{split} F(x)&=ax^2+bx+c\\
&=ax^2-ax+(a+b)x+c\\
&=2a\cdot\dfrac{x(x-1)}{2}+(a+b)x+c. \end{split}$$因为$$\begin{cases} x\in\mathbb Z,\\c\in\mathbb Z,\\ a+b\in\mathbb Z,\\ 2a\in\mathbb Z,\end{cases}$$所以$$\forall x\in Z,F(x)\in\mathbb Z.$$
(a+b+c)\in \mathbb Z,\\
(4a+2b+c)\in \mathbb Z,
\end{cases}$$于是$$\begin{cases} c\in\mathbb Z,\\ a+b\in\mathbb Z,\\ 2a\in\mathbb Z,\end{cases}$$以下证明，当 $c,a+b,2a$ 均为整数时，对任何整数 $x$，$F(x)$ 是整数．事实上$$\begin{split} F(x)&=ax^2+bx+c\\
&=ax^2-ax+(a+b)x+c\\
&=2a\cdot\dfrac{x(x-1)}{2}+(a+b)x+c. \end{split}$$因为$$\begin{cases} x\in\mathbb Z,\\c\in\mathbb Z,\\ a+b\in\mathbb Z,\\ 2a\in\mathbb Z,\end{cases}$$所以$$\forall x\in Z,F(x)\in\mathbb Z.$$
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