已知函数 $f\left(x\right)=a^x+{\dfrac{x-2}{x+1}}\left(a>1\right)$，用定义法证明：函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(-1,+\infty\right) $ 上为增函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x>-1$，则\[\begin{split} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&=\dfrac{a^{x+\Delta x}+\dfrac{x+\Delta x-2}{x+\Delta x+1}-a^x-\dfrac{x-2}{x+1}}{\Delta x}\\
&=a^x\cdot \dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}+\dfrac 3{(x+\Delta x+1)(x+1)}\\
&>0,\end{split}\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上为增函数．
&=a^x\cdot \dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}+\dfrac 3{(x+\Delta x+1)(x+1)}\\
&>0,\end{split}\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上为增函数．
答案
解析
备注
