已知 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，求证：$\sin A+\sin B$ $+\sin C$ $+\tan A+\tan B+$ $\tan C>2\pi$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需证明$$\sin A+\tan A>2A,$$构造函数$$f(x)=\sin x+\tan x-2x,0<x<\dfrac{\pi}{2}.$$对 $f(x)$ 求导$$f'(x)=\cos x+\dfrac1{cos^2x}-2>\dfrac2{\sqrt{\cos x}}-2>0,0<x<\dfrac{\pi}{2}.$$因此 $f(x)$ 单调递增，于是$$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),f(x)>f(0)=0.$$故$$\sin A+\tan A>2A,$$同理$$\begin{split} &\sin B+\tan B>2B\\
&\sin C+\tan C>2C\end{split}$$三式相加得$$\sin A+\sin B+\sin C+\tan A+\tan B+\tan C>2\pi.$$证毕．
&\sin C+\tan C>2C\end{split}$$三式相加得$$\sin A+\sin B+\sin C+\tan A+\tan B+\tan C>2\pi.$$证毕．
答案
解析
备注
