已知 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，求证：$\sin A+\sin B$ $+\sin C$ $+\tan A+\tan B+$ $\tan C>2\pi$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $t=\tan\dfrac{A}{2}$，则有$$1>t>\dfrac{A}2,$$于是$$\sin A+\tan A=\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{4t}{1-t^4}
>4t
>2A.$$同理可得$$\begin{split} &\sin B+\tan B>2B\\
&\sin C+\tan C>2C\end{split}$$将以上三式累加可得$$\sin A+\sin B+\sin C+\tan A+\tan B+\tan C>2\pi.$$证毕．
>4t
>2A.$$同理可得$$\begin{split} &\sin B+\tan B>2B\\
&\sin C+\tan C>2C\end{split}$$将以上三式累加可得$$\sin A+\sin B+\sin C+\tan A+\tan B+\tan C>2\pi.$$证毕．
答案
解析
备注
