在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=1$ 成立的条件是必有一个内角为 $\dfrac{2\pi}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
已知条件中的等式等价于$$\cos 3B+\cos 3C=1+cos(3B+3C),$$即$$2\cos\left(\dfrac{3B}{2}+\dfrac{3C}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3B}{2}-\dfrac{3C}{2}\right)=2\cos^2\left(\dfrac{3B}{2}+\dfrac{3C}{2}\right),$$又即$$\sin\dfrac{3A}{2}\sin\dfrac{3B}{2}\sin\dfrac{3C}{2}=0,$$因此以上等式成立的条件是必有一个内角为 $\dfrac{2\pi}{3}$．
答案
解析
备注
