证明：$\forall a,b,x,y\in R$，$|ax^2+2bxy-ay^2|\leqslant\sqrt{a^2+b^2}(x^2+y^2)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$，其中 $r,\theta\in\mathbb R$，则$$\begin{split} LHS&=|ar^2\cos^2\theta-ar^2\sin^2\theta+2br^2\sin\theta\cos\theta|\\
&=|ar^2\cos2\theta+br^2\sin2\theta|\\
&= r^2\cdot\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\cdot(x^2+y^2)\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
&=|ar^2\cos2\theta+br^2\sin2\theta|\\
&= r^2\cdot\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\cdot(x^2+y^2)\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
