已知 $a>0,x>a,y>a$，求证：$\sqrt{(x+a)(y+a)}+\sqrt{(x-a)(y-a)}\leqslant 2\sqrt{xy}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证$$\sqrt{(1+\dfrac{a}{x})(1+\dfrac{a}{y})}+\sqrt{(1-\dfrac{a}{x})(1-\dfrac{a}{y})}\leqslant 2,$$设 $\cos2\alpha=\dfrac ax,\cos2\beta=\dfrac ay$，其中 $\alpha,\beta,\in \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$．即证$$\sqrt{(1+\cos2\alpha)(1+\cos2\beta)}+\sqrt{(1-\cos2\alpha)(1-\cos2\beta)}\leqslant 2.$$而$$\begin{split} LHS&=2\cos \alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta\\
&=2\cos(\alpha-\beta)\\
&\leqslant 2\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
&=2\cos(\alpha-\beta)\\
&\leqslant 2\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
