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已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$c,e$ 分别为椭圆 $E$ 的半焦距和离心率，$F_1,F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点．下列命题中正确的命题为 \((\qquad)\)
A: 设 $A$ 为椭圆上任一点，其到直线 $l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$，$l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$ 的距离分别为 $d_1,d_2$，则 $\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}$
B: 设 $A$ 为椭圆上任一点，$AF_1,AF_2$ 分别于椭圆交于 $B,C$ 两点，则 $\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}\geqslant 2\cdot \dfrac{1+{e}^2}{1-{e}^2}$，当且仅当点 $A$ 在椭圆的顶点取到等号
C: 设 $A$ 为椭圆上任一点，过 $A$ 的椭圆切线为 $l$，$M$ 为线段 $F_1F_2$ 上一点，且 $\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=\dfrac{|F_1M|}{|MF_2|}$，则直线 $AM\perp l$
D: 面积为 $2ab$ 的椭圆内接四边形仅有 $1$ 个
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
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    椭圆
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    椭圆的性质
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    椭圆的光学性质
  • 知识点
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    解析几何
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    椭圆
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    椭圆的定义
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    椭圆的焦准定义
【答案】
AC
【解析】
对于选项 A，根据椭圆的焦准定义，有\[\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}=e.\]对于选项 B，根据椭圆的焦点弦的调和性质，有\[\dfrac{1}{|AF_1|}+\dfrac{1}{|F_1B|}=\dfrac{1}{|AF_2|}+\dfrac{1}{|F_2C|}=\dfrac{2a}{b^2},\]于是\[\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}=\dfrac{2a}{b^2}\cdot |AF_1|-1+\dfrac {2a}{b^2}\cdot |AF_2|-1=\dfrac{4a^2}{b^2}-2=2\cdot \dfrac{1+e^2}{1-e^2},\]为定值．
对于选项 C，根据角平分线定理的逆定理，$AM$ 是 $\angle F_1AF_2$ 的内角平分线．根据椭圆的光学性质，$AM\perp l$．
对于选项 D，由于半径为 $a$ 的圆内接正方形的面积为 $2a^2$ 且有无数个，因此面积为 $2ab$ 的椭圆内接四边形也有无数个，且均为平行四边形．
题目 答案 解析 备注
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