已知 $a,b,c,d$ 均为不大于 $1$ 的正数，求证：$4a(1-b)$，$4b(1-c)$，$4c(1-d)$，$4d(1-a)$ 中，至少有一个不大于 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意可考虑设$$(a,b,c,d)=(\sin^2\alpha,\sin^2\beta,\sin^2\gamma,\sin^2\theta),$$其中$$0<\alpha,\beta,\gamma,\theta\leqslant \dfrac{\pi}{2}.$$记$$M=4a(1-b)\cdot4b(1-c)\cdot4c(1-d)\cdot4d(1-a),$$则$$M=\sin^22\alpha\sin^22\beta\sin^22\gamma\sin^22\theta\leqslant 1.$$因此 $4a(1-b)$，$4b(1-c)$，$4c(1-d)$，$4d(1-a)$ 中，至少有一个不大于 $1$．
答案
解析
备注
