已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其离心率为 $\dfrac 12$，短轴长为 $2\sqrt 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$解析设椭圆的半焦距为 $c$，根据题意有$$\begin{cases}\dfrac ca=\dfrac 12,\\ 2b=2\sqrt 3,\\ a^2=b^2+c^2.\end{cases}$$解得$$a=2,b=\sqrt 3,c=1.$$故椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．
-
过点 $F_1$ 的直线 $l_1$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点．过点 $F_2$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 点，且 $l_1\parallel l_2$，求证：四边形 $MNPQ$ 不可能是菱形．标注答案略解析设 $l_1:x=my-1$，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$．$l_1$ 与椭圆方程联立得$$(3m^2+4)y^2-6my-9=0,$$所以$$\begin{cases}y_1+y_2=\dfrac{6m}{3m^2+4},\\ y_1y_2=\dfrac{-9}{3m^2+4}\end{cases}$$若四边形 $MNPQ$ 是菱形，则对角线垂直且平分．
考虑到平行四边形的对称性可知，$MNPQ$ 对角线的交点为点 $O$，则$$OM\perp ON.$$即$$x_1x_2+y_1y_2=(m^2+1)y_1y_2-m(y_1+y_2)+1=0,$$整理得$$12m^2+5=0,$$故 $m$ 不存在，即四边形 $MNPQ$ 不可能是菱形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
