题目 已知实数 $a<10$，设函数 $f(x)=\left|x^2-a\right|-(a+1)x-10$． 问题1 若 $a=2$，求 $f(x)$ 在 $[2,3]$ 上的最小值； 答案1 $-14$ 解析1 当 $a=2$，$x\in[2,3]$ 时，$$f(x)=x^2-3x-12,$$所以当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-14$． 备注1 问题2 若函数 $y=f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最小值为 $g(a)$，求 $g(a)$ 的表达式； 答案2 $g(a)=\begin{cases}-2a-10,&a\leqslant 1,\\-\dfrac{a^2+6a+41}{4},&1<a<4,\\ -a-16, &4\leqslant a <10.\end{cases}$ 解析2 当 $x\in[1,2]$ 时，$1\leqslant x^2\leqslant 4$．<br/>当 $a\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 即$$f(x)=x^2-(a+1)x-a-10,$$$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，所以$$f(x)_{\min}=f(1)=-2a-10.$$当 $1<a<4$ 时，函数 $f(x)$ 即$$f(x)=\begin{cases}-x^2-(a+1)x+1-10,&1\leqslant x<\sqrt a,\\ x^2-(a+1)x-a-10,&\sqrt a\leqslant x\leqslant 2.\end{cases}$$易知 $\dfrac{a+1}{2}>\sqrt a$，所以 $f(x)$ 在 $\left[1,\dfrac{a+1}{2}\right]$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+1}{2},2\right]$ 上单调递增，所以 $f(x)$ 的最小值为$$f\left(\dfrac{a+1}{2}\right)=-\dfrac{a^2+6a+41}{4}.$$当 $4\leqslant a <10$ 时，函数 $f(x)$ 即$$f(x)=-x^2-(a+1)x+a-10,$$$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 的最小值为$$f(2)=-a-16.$$综上所述，有$$g(a)=\begin{cases}-2a-10,&a\leqslant 1,\\-\dfrac{a^2+6a+41}{4},&1<a<4,\\ -a-16, &4\leqslant a <10.\end{cases}$$ 备注2 问题3 函数 $y=f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是否存在四个不同的零点，若存在求 $a$ 的取值范围；若不存在请说明理由． 答案3 $\left(4\sqrt 3 -3,4\right)$ 解析3 若函数 $y=f(x)$ 有四个零点，则方程$$\left|x^2-a\right|=(a+1)x+10$$有四个实数根，亦即函数 $y=\left|x^2-a\right|$ 与函数 $y=(a+1)x+10$ 图象有四个交点．<br/>当 $a\leqslant 0$ 时，显然不符合题意；<br/>当 $0<a<10$ 时，如图．<img src="/static/images/3d64aa70b42afd5d14499b133d0e764e.png" class="img-responsive" />当直线 $y=(a+1)x+10$ 与函数 $y=-x^2+a$ 相切时，可得 $a=4\sqrt 3-3$；<br/>当直线 $y=(a+1)x+10$ 过点 $\left(-\sqrt a,0\right)$ 时，可得 $a=4$．<br/>综上，$a$ 的取值范围为 $\left(4\sqrt 3 -3,4\right)$． 备注3 福建福州一中2016-2017高一上期末