题目 若 $f\left(x\right)=1-2a-2a\cos x-2\sin^2x$ 的最小值为 $g\left(a\right)$． 问题1 求 $g\left(a\right)$ 的表达式； 答案1 $g\left(a\right)= \begin{cases}1-4a,\quad\quad \quad\quad \quad a>2,\\-\dfrac{a^{2}}{2}-2a-1,\quad -2\leqslant a\leqslant 2,\\1,\quad\quad\quad \quad\quad \quad\quad a<-2.\end{cases} $ 解析1 根据题意有$$f\left(x\right)=2\left(\cos x-\dfrac{a}{2}\right)^2-\dfrac{a^{2}}{2}-2a-1,$$令$$t=\cos x,t\in \left[-1,1\right].$$当 $\dfrac{a}{2}<-1$，即 $a<-2$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\cos x=-1$ 时取得最小值，即$$g\left(a\right)=1;$$当 $-1\leqslant \dfrac{a}{2}\leqslant 1$，即 $-2\leqslant a\leqslant 2$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\cos x=\dfrac{a}{2}$ 时取得最小值，即$$g\left(a\right)=-\dfrac{a^{2}}{2}-2a-1;$$当 $\dfrac{a}{2}>1$，即 $a>2$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\cos x=1$ 时取得最小值，即$$g\left(a\right)=1-4a.$$综上所述，$g\left(a\right)= \begin{cases}1-4a,\quad\quad \quad\quad \quad a>2,\\-\dfrac{a^{2}}{2}-2a-1,\quad -2\leqslant a\leqslant 2,\\1,\quad\quad\quad \quad\quad \quad\quad a<-2.\end{cases} $ 备注1 问题2 求能使 $g\left(a\right)=\dfrac{1}{2}$ 的 $a$ 值，并求出当 $a$ 取此值时，$f\left(x\right)$ 的最大值． 答案2 $a=-1$；$5$ 解析2 当 $g\left(a\right)=\dfrac{1}{2}$ 时，可得$$\left(1-4a=\dfrac{1}{2}\right)\lor\left( -\dfrac{a^{2}}{2}-2a-1=\dfrac{1}{2}\right),$$解得 $a=-3,-1,\dfrac 18$．经验证，$a=-1$．此时$$f\left(x\right)=2\left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}.$$因此，当 $\cos x=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值为 $5$． 备注2