锐角 $A,B,C$ 满足 $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$，求证：$A+B+C=\pi$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对题中已知等式用降幂公式可得$$\cos2A+\cos 2B+2\cos^2C+4\cos A\cos B\cos C=0,$$即有$$\cos^2C+[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\cdot\cos C+\cos(A+B)\cdot\cos(A-B)=0,$$因式分解可得$$[\cos C+\cos(A+B)][\cos C+\cos (A-B)]=0.$$由于 $A,B,C$ 均为锐角，因此$$\cos C+\cos(A+B)=0,$$所以$$A+B+C=\pi.$$证毕．
答案
解析
备注
