已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C:{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $ - \sqrt 2 $ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 $．
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（理）
【标注】
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证明：点 $P$ 在 $C$ 上；标注答案略解析$F\left(0,1\right)$，$l$ 的方程为\[y = - \sqrt 2 x + 1,\]代入 ${x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$ 并化简得\[4{x^2} - 2\sqrt 2 x - 1 = 0.\]设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left(x{}_2,{y_2}\right)$，$P\left({x_3},{y_3}\right)$，则\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{x_1}{x_2} = - \dfrac{1}{4},\]所以\[{y_1} + {y_2} = - \sqrt 2 \left({x_1} + {x_2}\right) + 2 = 1,\]由题意得\[\begin{split}{x_3} & = - \left({x_1} + {x_2}\right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}, \\ {y_3} & = - \left({y_1} + {y_2}\right) = - 1, \end{split}\]所以点 $P$ 的坐标为 $\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}, - 1} \right)$．
经验证点 $P$ 的坐标 $\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}, - 1} \right)$ 满足方程 ${x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$，故点 $P$ 在椭圆 $C$ 上． -
设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$，证明：$A,P,B,Q$ 四点在同一圆上．标注答案略解析由 $P\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}, - 1} \right)$ 和题设知 $Q\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2},1} \right)$，$PQ$ 的垂直平分线 ${l_1}$ 的方程为\[y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}x. \quad \cdots \cdots ① \]设 $AB$ 的中点为 $M$，则 $M\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4},\dfrac{1}{2}} \right)$，$AB$ 的垂直平分线 ${l_2}$ 的方程为\[y = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}x + \dfrac{1}{4}. \quad \cdots \cdots ② \]由 ①，② 得 ${l_1} , {l_2}$ 的交点为 $N\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{8},\dfrac{1}{8}} \right)$．\[\begin{split}|NP| & = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \dfrac{1}{8}} \right)}^2}} \\& = \dfrac{{3\sqrt {11} }}{8}, \\
|AB| & = \sqrt {1 + {{\left( - \sqrt 2 \right)}^2}} \cdot |{x_2} - {x_1}| \\& = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} , \\
|AM| &= \dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}, \\
|MN| &= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8}} \right)}^2}} \\& = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}, \\
|NA| & = \sqrt {{|AM|}^2 + |MN|^2} \\& = \dfrac{{3\sqrt {11} }}{8} ,\end{split}\]故 $|NP| = |NA|$，又 $|NP| = |NQ|$，$|NA| = |NB|$，所以\[|NA| = |NP| = |NB| = |NQ|,\]由此知 $A,P,B,Q$ 四点在以 $N$ 为圆心，$NA$ 为半径的圆上．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
