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设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=6a_{n+1}-a_{n} \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$，则 \((\qquad)\)
A: $\left\{a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}\right\}$ 为常数列
B: $\left\{8a_na_{n+1}-7\right\}$ 各项为平方数
C: $\left\{4a_na_{n+1}-7\right\}$ 各项为平方数
D: $a_n\equiv 1\pmod 9$ 或 $a_n\equiv 2\pmod 9$
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的递推公式
【答案】
ABC
【解析】
选项 A 因为\[\begin{split}
a_{n+2}^2-a_{n+3}a_{n+1}
&=a_{n+2}^2-\left(6a_{n+2}-a_{n+1}\right)a_{n+1}\\
&=a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+1}^2\\
&=a_{n+2}\left(a_{n+2}-6a_{n+1}\right)+a_{n+1}^2\\
&=a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n},
\end{split}\]所以选项 A 正确．
选项 BC 由于 $a_3=11$，故\[\begin{split}
a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}
&=a_{n+1}^2-\left(6a_{n+1}-a_n\right)a_{n}\\
&=a_{n+1}^2-6a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2\\
&=-7,
\end{split}\]对任意正整数恒成立，所以\[\begin{split} 4a_na_{n+1}-7&=\left(a_{n+1}-a_{n}\right)^2,\\
8a_na_{n+1}-7&=\left(a_{n+1}+a_{n}\right)^2,\end{split}\]故选项 BC 都正确．
选项 D  $a_n$ 模 $9$ 的余数构成数列\[1,2,2,1,4,\underbrace{5,6,4,0,5,3,4,3,5,0,4,6},5,6,\cdots\]于是选项 D 错误．
题目 答案 解析 备注
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