题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$A$ 是椭圆上位于第一象限内的一点，直线 $AF_1,AF_2$ 分别与椭圆交于点 $C,B$，直线 $BF_1$ 与椭圆交于点 $D$，连接 $CD$，直线 $AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$．设直线 $AF_2$ 的斜率为 $k$，直线 $CD$ 的斜率为 $k'$．<br><img src="/static/images/b42ad427f344241f0b1c616bb570737e.png" class="img-responsive" /> 问题1 证明：$AF_1\cdot AF_2<2$； 答案1 略 解析1 由椭圆定义知$$AF_1+AF_2=2\sqrt 2\geqslant 2\sqrt{AF_1\cdot AF_2},$$又因为 $AF_1\ne AF_2$，所以等号取不到，从而不等式得证． 备注1 问题2 证明：$\dfrac{k'}{k}$ 为常数； 答案2 $\dfrac {k'}{k}$ 为常数 $5$ 解析2 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$，则直线\[AC:y=\dfrac{y_1}{x_1+1}(x+1),\]与椭圆方程联立，可得\[\dfrac 12x^2+\dfrac{y_1^2}{(x_1+1)^2}(x+1)^2=0,\]即\[\dfrac 12x^2+\dfrac{1-\dfrac 12x_1^2}{(x_1+1)^2}(x+1)^2=0,\]整理得\[\dfrac{(x-x_1)\left[(2x_1+3)x+3x_1+4\right]}{(x_1+1)^2}=0,\]于是\[x_3=-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3},\]进而\[y_3=\dfrac{y_1}{x_1+1}\cdot \left(-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3}\right)=-\dfrac{y_1}{2x_1+3},\]类似的，可得\[x_4=-\dfrac{3x_2+4}{2x_2+3},y_4=-\dfrac{y_2}{2x_2+3},\]因此\[\begin{split} \dfrac{y_3-y_4}{x_3-x_4}&=\dfrac{\left(-\dfrac{y_1}{2x_1+3}\right)-\left(-\dfrac{y_2}{2x_2+3}\right)}{\left(-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3}\right)-\left(-\dfrac{3x_2+4}{2x_2+3}\right)}\\<br/>&=3\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}+2\cdot \dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2}\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\<br/>&=5\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2},\end{split}\]也即 $\dfrac{k'}{k}$ 是常数 $5$． 备注2 问题3 证明：点 $E$ 在定直线上． 答案3 点 $E$ 在定直线 $x=-2$ 上 解析3 设 $E(x_5,y_5)$，则\[\dfrac{y_5-y_1}{x_5-x_1}=\dfrac{y_4-y_1}{x_4-x_1},\]于是\[y_5=y_1+\dfrac{x_5-x_1}{x_4-x_1}\cdot (y_4-y_1),\]从而\[y_1+\dfrac{x_5-x_1}{x_4-x_1}\cdot (y_4-y_1)=y_2+\dfrac{x_5-x_2}{x_3-x_2}\cdot (y_3-y_2),\]整理得\[\dfrac{2(x_5+2)(y_1-y_2+x_2y_1-x_1y_2)}{4+3x_1+3x_2+2x_1x_2}=0,\]于是\[x_5=-2,\]原命题得证． 备注3