在平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,$A$ 是椭圆上位于第一象限内的一点,直线 $AF_1,AF_2$ 分别与椭圆交于点 $C,B$,直线 $BF_1$ 与椭圆交于点 $D$,连接 $CD$,直线 $AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$.设直线 $AF_2$ 的斜率为 $k$,直线 $CD$ 的斜率为 $k'$.
【难度】
【出处】
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的计算技巧
    >
    顶点弦代换
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    截距坐标公式
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
  1. 证明:$AF_1\cdot AF_2<2$;
    标注
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      椭圆
      >
      椭圆的定义
      >
      椭圆的第一定义
    答案
    解析
    由椭圆定义知$$AF_1+AF_2=2\sqrt 2\geqslant 2\sqrt{AF_1\cdot AF_2},$$又因为 $AF_1\ne AF_2$,所以等号取不到,从而不等式得证.
  2. 证明:$\dfrac{k'}{k}$ 为常数;
    标注
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      直线与圆锥曲线
      >
      联立及韦达定理
    • 题型
      >
      解析几何
      >
      圆锥曲线的定点定值问题
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      解析几何中的计算技巧
      >
      顶点弦代换
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      解析几何中的基本公式
      >
      截距坐标公式
    答案
    $\dfrac {k'}{k}$ 为常数 $5$
    解析
    设 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$,$D(x_4,y_4)$,则直线\[AC:y=\dfrac{y_1}{x_1+1}(x+1),\]与椭圆方程联立,可得\[\dfrac 12x^2+\dfrac{y_1^2}{(x_1+1)^2}(x+1)^2=0,\]即\[\dfrac 12x^2+\dfrac{1-\dfrac 12x_1^2}{(x_1+1)^2}(x+1)^2=0,\]整理得\[\dfrac{(x-x_1)\left[(2x_1+3)x+3x_1+4\right]}{(x_1+1)^2}=0,\]于是\[x_3=-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3},\]进而\[y_3=\dfrac{y_1}{x_1+1}\cdot \left(-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3}\right)=-\dfrac{y_1}{2x_1+3},\]类似的,可得\[x_4=-\dfrac{3x_2+4}{2x_2+3},y_4=-\dfrac{y_2}{2x_2+3},\]因此\[\begin{split} \dfrac{y_3-y_4}{x_3-x_4}&=\dfrac{\left(-\dfrac{y_1}{2x_1+3}\right)-\left(-\dfrac{y_2}{2x_2+3}\right)}{\left(-\dfrac{3x_1+4}{2x_1+3}\right)-\left(-\dfrac{3x_2+4}{2x_2+3}\right)}\\
    &=3\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}+2\cdot \dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2}\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\
    &=5\cdot \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2},\end{split}\]也即 $\dfrac{k'}{k}$ 是常数 $5$.
  3. 证明:点 $E$ 在定直线上.
    标注
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      直线与圆锥曲线
      >
      联立及韦达定理
    • 题型
      >
      解析几何
      >
      圆锥曲线的定点定值问题
    答案
    点 $E$ 在定直线 $x=-2$ 上
    解析
    设 $E(x_5,y_5)$,则\[\dfrac{y_5-y_1}{x_5-x_1}=\dfrac{y_4-y_1}{x_4-x_1},\]于是\[y_5=y_1+\dfrac{x_5-x_1}{x_4-x_1}\cdot (y_4-y_1),\]从而\[y_1+\dfrac{x_5-x_1}{x_4-x_1}\cdot (y_4-y_1)=y_2+\dfrac{x_5-x_2}{x_3-x_2}\cdot (y_3-y_2),\]整理得\[\dfrac{2(x_5+2)(y_1-y_2+x_2y_1-x_1y_2)}{4+3x_1+3x_2+2x_1x_2}=0,\]于是\[x_5=-2,\]原命题得证.
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
0.110002s