$\triangle ABC$ 的三边为 $a,b,c$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$，求 $b^2-ab$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
记 $AC$ 中点为 $M$，则$$BM=\dfrac12|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=1,$$由$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\dfrac12\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1,$$分别在 $\triangle ABM$ 与 $\triangle ABC$ 中由余弦定理可得$$\begin{cases} BM^2=AM^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM},\\
BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, \end{cases}$$即$$\begin{cases} 1=\dfrac14b^2+c^2-2,\\
a^2=b^2+c^2-4, \end{cases}$$联立以上两式消去 $c$ 可得$$\dfrac34b^2-a^2=1,$$设 $\dfrac ba=t$，则 $t$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3},+\infty\right)$ 于是$$b^2-ab=\dfrac{b^2-ab}{\frac34b^2-a^2}=\dfrac{t^2-t}{\frac34t^2-1}\geqslant 1,$$当 $t=2$ 即 $b=2a$，又即 $(a,b)=\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\sqrt2\right)$ 时，上述不等式取得等号，$b^2-ab$ 取得最小值 $1$．
BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, \end{cases}$$即$$\begin{cases} 1=\dfrac14b^2+c^2-2,\\
a^2=b^2+c^2-4, \end{cases}$$联立以上两式消去 $c$ 可得$$\dfrac34b^2-a^2=1,$$设 $\dfrac ba=t$，则 $t$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3},+\infty\right)$ 于是$$b^2-ab=\dfrac{b^2-ab}{\frac34b^2-a^2}=\dfrac{t^2-t}{\frac34t^2-1}\geqslant 1,$$当 $t=2$ 即 $b=2a$，又即 $(a,b)=\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\sqrt2\right)$ 时，上述不等式取得等号，$b^2-ab$ 取得最小值 $1$．
答案
解析
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