求证：$\triangle ABC$ 中，$\cos A+\cos B+\cos C>1$，其中 $A,B,C$ 为三角形的三个内角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
在 $\triangle ABC$ 中，由射影定理$$\begin{split} &a=b\cos C+c\cos B\\
&b=a\cos C+c\cos A\end{split}$$两式相加可得$$(a+b)=(a+b)\cos C+c(\cos A+\cos B),$$即$$(a+b)(1-\cos C)=c(\cos A+\cos B),$$由于 $a+b>c$，所以$$1-\cos C<\cos A+\cos B,$$于是$$\cos A+\cos B+\cos C>1.$$证毕．
&b=a\cos C+c\cos A\end{split}$$两式相加可得$$(a+b)=(a+b)\cos C+c(\cos A+\cos B),$$即$$(a+b)(1-\cos C)=c(\cos A+\cos B),$$由于 $a+b>c$，所以$$1-\cos C<\cos A+\cos B,$$于是$$\cos A+\cos B+\cos C>1.$$证毕．
答案
解析
备注
