设空间两个单位向量 $\overrightarrow{OA}=(m,n,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,n,p)$ 与 $\overrightarrow{OC}=(1,1,1)$ 的夹角都等于 $\dfrac{\pi}4$，求 $\cos\angle AOB$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\pm \sqrt 3}4$
【解析】
根据题意，有\[m+n=n+p=1\cdot \sqrt 3\cdot\cos\dfrac{\pi}4,\]于是\[m=p=\dfrac{\sqrt 6}2-n,\]又\[\sqrt{m^2+n^2}=1,\]解得\[n=\dfrac{\sqrt 6\pm\sqrt 2}4,\]于是\[\cos\angle AOB=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{OB}\right|}=(m,n,0)\cdot (0,n,p)=n^2=\dfrac{2\pm \sqrt 3}4.\]
答案
解析
备注
