已知 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 是底面边长为 $ 1 $ 的正四棱柱，${O_1}$ 为 ${A_1}{C_1}$ 与 ${B_1}{D_1}$ 的交点．
【难度】
【出处】
2011年高考上海卷（理）
【标注】
-
设 $A{B_1}$ 与底面 ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 所成角的大小为 $\alpha $，二面角 $A - {B_1}{D_1} - {A_1}$ 的大小为 $\beta $．求证：$\tan \beta = \sqrt 2 \tan \alpha $；标注答案略解析连接 $A{O_1}$，$A{A_1} \perp $ 底面 ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 于 ${A_1}$．
$A{B_1}$ 与底面 ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 所成的角为 $\angle A{B_1}{A_1}$，即 $\angle A{B_1}{A_1} = \alpha $．
因为 $A{B_1} = A{D_1}$，${O_1}$ 为 ${B_1}{D_1}$ 中点，所以 $A{O_1} \perp {B_1}{D_1}$，
又 ${A_1}{O_1} \perp {B_1}{D_1}$，所以 $\angle A{O_1}{A_1}$ 是二面角 $A - {B_1}{D_1} - {A_1}$ 的平面角，即 $\angle A{O_1}{A_1} = \beta$．
设 $AA_1=h$，所以\[\tan \alpha = \dfrac{{A{A_1}}}{{{A_1}{B_1}}} = h , \\ \tan \beta = \dfrac{{A{A_1}}}{{{A_1}{O_1}}} = \sqrt 2 h = \sqrt 2 \tan \alpha .\] -
若点 $C$ 到平面 $A{B_1}{D_1}$ 的距离为 $\dfrac{4}{3}$，求正四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 的高．标注答案略解析建立如图空间直角坐标系，
有 $A\left( {0,0,h} \right)$，${B_1}\left( {1,0,0} \right)$，${D_1}\left( {0,1,0} \right)$，$C\left( {1,1,h} \right)$，\[\begin{split}\overrightarrow {AB{_1}} & = \left(1,0, - h\right), \\ \overrightarrow {AD{_1}} & = \left(0,1, - h\right), \\ \overrightarrow {AC} & = \left(1,1,0\right).\end{split}\]设平面 $A{B_1}{D_1}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow n = \left(x,y,z\right)$，则\[ \begin{cases}{\overrightarrow n \perp \overrightarrow {A{B_1}} } ,\\
{\overrightarrow n \perp \overrightarrow {A{D_1}} },
\end{cases}\]即\[ \begin{cases}{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A{B_1}} = 0} ,\\
{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A{D_1}} = 0},
\end{cases}\]取 $z = 1$ 得\[\overrightarrow n = \left(h,h,1\right).\]所以点 $C$ 到平面 $A{B_1}{D_1}$ 的距离为\[d = \dfrac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n} \right|}} = \dfrac{h + h + 0}{{\sqrt {{h^2} + {h^2} + 1} }} = \dfrac{4}{3},\]则 $h = 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
