求证：$\forall n,k\in\mathbb N^\ast$，且 $1\leqslant k\leqslant n$，$\displaystyle (2k-1)^2\cdot\sum_{m=k}^{n}\dfrac1{m^3}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
易证$$\dfrac1{m^3}<\dfrac12\left[\dfrac1{\left(m-\frac12\right)^2}-\dfrac1{\left(m+\frac12\right)^2}\right],$$于是$$\begin{split} LHS&<4\left(k-\dfrac12\right)^2\cdot\sum_{m=k}^{n}\dfrac12\left[\dfrac1{\left(m-\frac12\right)^2}-\dfrac1{\left(m+\frac12\right)^2}\right]\\
&=2\left[1-\dfrac{\left(k-\frac12\right)^2}{\left(k+\frac12\right)^2}\right]\\
&<2. \end{split}$$证毕．
&=2\left[1-\dfrac{\left(k-\frac12\right)^2}{\left(k+\frac12\right)^2}\right]\\
&<2. \end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
