已知 ${x^{1000}} + {x^{999}}\left( {x + 1} \right) + \cdots + {\left( {x + 1} \right)^{1000}}$，求 ${x^{50}}$ 的系数．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
${\mathrm {C}}_{1001}^{50}$
【解析】
因为 ${x^{1000}},{x^{999}}\left( {x + 1} \right), \cdots ,{\left( {x + 1} \right)^{1000}}$ 是一个公比为 $\dfrac{{x + 1}}{x}$ 的等比数列，所以原式等于$$\dfrac{{{x^{1000}} - {{\left( {x + 1} \right)}^{1000}} \cdot \dfrac{{x + 1}}{x}}}{{1 - \dfrac{{x + 1}}{x}}} = {\left( {x + 1} \right)^{1001}} - {x^{1001}}.$$因此 ${x^{50}}$ 的系数为 ${\mathrm {C}}_{1001}^{50}$．
答案
解析
备注
