在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A+\cos B+\cos C>1$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用余弦定理，即证明\[\sum_{cyc}\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>1,\]也即\[\sum_{cyc}\left(ab^2+ac^2-a^3\right)-2abc>0.\]注意到取等条件为 $A,B,C$ 共线，因此上述不等式左边必然包含因式\[a+b-c,b+c-a,c+a-b,\]不难推出\[\sum_{cyc}\left(ab^2+ac^2-a^3\right)-2abc=\prod_{cyc}(a+b-c)>0,\]这显然成立，原命题得证．
答案
解析
备注
