在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A+\cos B+\cos C>1$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[\begin{split}\cos A+\cos B+\cos C-1&=\cos A+\cos B+\cos C+\cos \pi\\
&=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\cos\dfrac{C+\pi}2\cos\dfrac{C-\pi}2\\
&=2\sin\dfrac C2\left(\cos\dfrac{A-B}2-\cos\dfrac{A+B}2\right)\\
&=4\sin\dfrac A2\sin \dfrac B2\sin \dfrac C2\\
&>0,\end{split}\]原命题得证．
&=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\cos\dfrac{C+\pi}2\cos\dfrac{C-\pi}2\\
&=2\sin\dfrac C2\left(\cos\dfrac{A-B}2-\cos\dfrac{A+B}2\right)\\
&=4\sin\dfrac A2\sin \dfrac B2\sin \dfrac C2\\
&>0,\end{split}\]原命题得证．
答案
解析
备注
