在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A+\cos B+\cos C>1$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由射影定理，有\[\begin{split}a&=b\cos C+c\cos B,\\
b&=a\cos C+c\cos A,\end{split}\]于是\[a+b=(a+b)\cos C+c(\cos A+\cos B),\]整理得\[\dfrac{\cos A+\cos B}{1-\cos C}=\dfrac{a+b}{c}>1,\]于是\[\cos A+\cos B+\cos C>1.\]
b&=a\cos C+c\cos A,\end{split}\]于是\[a+b=(a+b)\cos C+c(\cos A+\cos B),\]整理得\[\dfrac{\cos A+\cos B}{1-\cos C}=\dfrac{a+b}{c}>1,\]于是\[\cos A+\cos B+\cos C>1.\]
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