已知 $a,b,c>0$，$abc=\dfrac 12$，求证：$\dfrac{ab^2}{a^3+1}+\dfrac{bc^2}{b^3+1}+\dfrac{ca^2}{c^3+1}\geqslant 1$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}LHS&=\dfrac{ab^2}{a^3+2abc}+\dfrac{bc^2}{b^3+2abc}+\dfrac{ca^2}{c^3+2abc}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2+2bc}+\dfrac{c^2}{b^2+2ca}+\dfrac{a^2}{c^2+2ab}\\
&\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\\
&=1
,\end{split}\]于是原不等式得证．
&=\dfrac{b^2}{a^2+2bc}+\dfrac{c^2}{b^2+2ca}+\dfrac{a^2}{c^2+2ab}\\
&\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\\
&=1
,\end{split}\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
