已知 $a,b,c,d$ 是正数，且满足\[\begin{cases}a+b+c+d=4,\\ a^2+b^2+c^2+d^2=8,\end{cases}\]求 $a$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2017年上海交通大学自主招生试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3+1$
【解析】
由均值不等式，可得\[b^2+c^2+d^2\geqslant \dfrac{(b+c+d)^2}3,\]于是\[8-a^2\geqslant \dfrac{(4-a)^2}3,\]解得 $1-\sqrt 3\leqslant a\leqslant \sqrt 3+1$．事实上，当 $b=c=d=1-\dfrac{\sqrt 3}3$ 时，$a$ 可取得 $\sqrt 3+1$．因此所求的最大值为 $\sqrt 3+1$．
答案
解析
备注
