已知 $n$ 是正整数，求证：$\dfrac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}-\dfrac{(n+1)^n}{n^{n-1}}<{\rm e}<\dfrac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}}-\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)=\dfrac{(x+1)^x}{x^{x-1}}$，$g(x)=\dfrac{(x+1)^{x+1}}{x^x}$，则题意即\[\dfrac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}<{\rm e}<\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n},\]根据拉格朗日中值定理，有\[\begin{split} f'(\xi_1)&=\dfrac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n},\\
g'(\xi_2)&=\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n}\end{split}\]其中 $\xi_1,\xi_2 \in (n,n+1)$．接下来我们证明当 $x>0$ 时，有\[f'(x)<{\rm e}<g'(x).\]左边不等式 函数 $f(x)=x\left(1+\dfrac 1x\right)^x$，其导函数\[f'(x)=\left[x\ln\left(1+\dfrac 1x\right)+\dfrac{1}{x+1}\right]\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x.\]我们熟知\[\forall x>0,\ln\left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac 12\left[\left(1+\dfrac 1x\right)-\dfrac{1}{1+\dfrac 1x}\right]=\dfrac{2x+1}{2x(x+1)},\]因此\[f'(x)<\left[x\cdot \dfrac{2x+1}{2x(x+1)}+\dfrac{1}{x+1}\right]\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x=\left(1+\dfrac{1}{2x+2}\right)\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x,\]于是\[\begin{split}\ln f'(x)&<\ln\left(1+\dfrac{1}{2x+2}\right)+x\ln\left(1+\dfrac 1x\right)\\
&<\dfrac{1}{2x+2}+x\cdot \dfrac{2x+1}{2x(x+1)}\\
&=1,\end{split}\]因此 $f'(x)<{\rm e}$，命题成立．
右边不等式 函数 $g(x)=(x+1)\left(1+\dfrac 1x\right)^x$，其导函数\[g'(x)=(x+1)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x,\]于是\[\ln g'(x)=\ln(x+1)+\ln\left(1+\dfrac 1x\right)+x\ln \left(1+\dfrac 1x\right).\]记该函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\ln \left(1+\dfrac 1x\right)-\dfrac{1}{\left(x^2+x\right)\ln \left(1+\dfrac 1x\right)},\]不难证明\[\forall x>0,\ln \left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x}},\]因此 $\mu(x)$ 单调递减，又\[\lim_{x\to +\infty}g'(x)=1,\]因此\[\ln g'(x)>1,\]从而 $g'(x)>{\rm e}$，命题成立．
g'(\xi_2)&=\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n}\end{split}\]其中 $\xi_1,\xi_2 \in (n,n+1)$．接下来我们证明当 $x>0$ 时，有\[f'(x)<{\rm e}<g'(x).\]
&<\dfrac{1}{2x+2}+x\cdot \dfrac{2x+1}{2x(x+1)}\\
&=1,\end{split}\]因此 $f'(x)<{\rm e}$，命题成立．
答案
解析
备注
