已知 $a_0=0,,a_1=1$，$a_{n+1}=8a_n-a_{n-1}$，$n=1,2,3,\cdots$，试问：在数列 $\{a_n\}$ 中是否有无穷多个能被 $15$ 整除的项？证明你的结论．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
数列 $\{a_n\}$ 的特征方程为$$x^2-8x+1=0,$$它的两个特征根为 $x_{1,2}=4\pm\sqrt{15}$，所以$$a_n=A(4+\sqrt{15})^n+B(4-\sqrt{15})^n,n\in\mathbb N.$$由 $a_0=0,a_1=1$ 得$$(A,B)=\left(\dfrac1{2\sqrt{15}},\dfrac1{2\sqrt{15}}\right),$$则$$a_n=\dfrac1{2\sqrt{15}}\cdot[(4+\sqrt{15})^n-(4-\sqrt{15})^n],n\in\mathbb N.$$取 $n=2k$，$k\in\mathbb N$．由二项式定理得$$\begin{split} a_n&=\dfrac1{\sqrt{15}}[\mathrm{C}_n^1\cdot 4^{n-1}\cdot\sqrt{15}+\mathrm{C}_n^3\cdot 4^{n-3}\cdot(\sqrt{15})^3+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1}\cdot 4\cdot(\sqrt{15})^{n-1}] \\
&=2k\cdot4^{2k-1}+15(\mathrm{C}_{2k}^3\cdot4^{2k-3}+\cdots+\mathrm{C}_{2k}^{2k-1}\cdot 4\cdot 15^{k-2}).\end{split}$$因此当 $15\mid k$，即 $30\mid n$ 时，$15\mid a_n$，因此数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个能被 $15$ 整除的项．
&=2k\cdot4^{2k-1}+15(\mathrm{C}_{2k}^3\cdot4^{2k-3}+\cdots+\mathrm{C}_{2k}^{2k-1}\cdot 4\cdot 15^{k-2}).\end{split}$$因此当 $15\mid k$，即 $30\mid n$ 时，$15\mid a_n$，因此数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个能被 $15$ 整除的项．
答案
解析
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