已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\dfrac12,\dfrac38\right)$ 和到直线 $y=-\dfrac58$ 距离相等的点的轨迹，$l$ 是过点 $Q(-1,0)$ 的直线，$M$ 是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点，$A,B$ 在 $l$ 上，$MA\perp l$，$MB\perp x$ 轴．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求曲线 $C$ 的方程；标注答案$y=\dfrac12(x^2+x)$解析根据题意设曲线上的任一点坐标为 $(x,y)$，则$$\sqrt{\left(x+\dfrac12\right)^2+\left(y-\dfrac38\right)^2}=\bigg|y+\dfrac58\bigg|,$$两边平方整理可得曲线 $C$ 的方程为$$y=\dfrac12(x^2+x).$$
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求出直线 $l$ 的方程，使得 $\dfrac{|QB|^2}{|QA|}$ 为常数．标注答案$2x-y+2=0$解析显然直线 $l$ 的斜率存在，设其方程为 $y=k(x+1)$，设 $M(x_0,y_0)$，其中$$y_0=\dfrac12(x_0^2+x_0),$$则 $B(x_0,k(x_0+1))$，且$$\begin{split} & |QB|^2=(1+k^2)(x_0+1)^2\\
&|MQ|^2=(x_0+1)^2+y_0^2\\
&|MA|^2=\dfrac{[k(x_0+1)-y_0]^2}{1+k^2} \end{split}$$于是$$|QA|^2=|MQ|^2-|MA|^2=\dfrac{(x_0+ky_0+1)^2}{1+k^2},$$由于 $\dfrac{|QB|^2}{|QA|}$ 为定值，且$$\dfrac{|QB|^4}{|QA|^2}=(1+k^2)^3\cdot\dfrac{(x_0+1)^4}{(x_0+ky_0+1)^2},$$即$$\exists \lambda, \forall x_0 ,(x_0+1)^2-\lambda\cdot\left[x_0+k\cdot\dfrac12(x_0^2+x_0)+1\right]=0.$$即各项系数均为 $0$，解得$$k=2.$$因此直线 $l$ 的方程为$$2x-y+2=0.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
