题目 已知 $k>0$，直线 $l_1:y=kx$，$l_2:y=-kx$． 问题1 求证：到两直线的距离平方和为定值 $a(a>0)$ 的点 $M$ 的轨迹为圆或椭圆； 答案1 略 解析1 设动点 $M(x,y)$，根据题意有$$\dfrac{|y-kx|^2}{1+k^2}+\dfrac{|y+kx|^2}{1+k^2}=a,$$化简整理得$$\dfrac{x^2}{\frac{(1+k^2)a}{2k^2}}+\dfrac{y^2}{\frac{(1+k^2)a}{2}},$$所以当 $k=1$ 时，动点 $M$ 得轨迹为圆；否则，轨迹为椭圆． 备注1 问题2 求到两直线距离之和为定值 $c(c>0)$ 的点 $N$ 的轨迹曲线形状． 答案2 矩形 解析2 设动点 $N(x,y)$，根据题意有$$\dfrac{|y-kx|}{\sqrt{1+k^2}}+\dfrac{|y+kx|}{\sqrt{1+k^2}}=c.$$该曲线为一封闭的矩形．各段的曲线方程分别为：<br/>① 当 $y\geqslant k|x|$ 时，原方程绝对值号去掉后进行整理可得$$y=\dfrac12c\sqrt{1+k^2}.$$② 当 $y\leqslant -k|x|$ 时，同理$$y=-\dfrac12c\sqrt{1+k^2}.$$③ 当 $-k|x|<y<k|x|$ 且 $x>0$ 时，原式化简整理得$$x=\dfrac{c}{2k}\sqrt{1+k^2}.$$④ 当 $-k|x|<y<k|x|$ 且 $x<0$ 时，原式化简整理得$$x=-\dfrac{c}{2k}\sqrt{1+k^2}.$$ 备注2