题目 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，且点 $P\left(a_n,a_{n+1}\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）在直线 $x-y+1=0$ 上． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=n,n\in\mathbb N^{\ast}$ 解析1 由题可知$$a_{n+1}-a_n=1,$$结合 $a_1=1$，则数列 $\{a_n\} $ 的通项公式为 $ a_n=n,n\in\mathbb N^{\ast}$． 备注1 问题2 若 $f(n)=\dfrac{1}{n+a_1}+\dfrac{1}{n+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{n+a_n}$，其中 $n\geqslant2,n\in\mathbb N$，求函数 $f(n)$ 的最小值； 答案2 $\dfrac{7}{12}$ 解析2 由第一小问可知 $a_n=n,n\in\mathbb N^{\ast}$，则\[\begin{split}f(n)&=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n},\\f(n+1)&=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2},\end{split}\]因此，当 $n\geqslant2,n\in\mathbb N$ 时，$$f(n+1)-f(n)=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0,$$故函数 $f(n)$ 单调递增，因此最小值为 $\dfrac{7}{12}$． 备注2 问题3 设 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$，$S_n$ 表示数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在关于 $n$ 的整式 $g(n)$，使得 $S_1+S_2+\cdots+S_{n-1}=\left(S_n-1\right)\cdot g(n)$ 对一切不小于 $2$ 的自然数 $n$ 恒成立？若存在，求出 $g(n)$；若不存在，请说明理由． 答案3 存在，$g(n)=n$ 解析3 由题可知 $b_n=\dfrac1n$，且$$S_n=\dfrac11+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n,$$设 $S_1+S_2+\cdots+S_{n-1}=M$，则有$$M=\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left[(n-i)\cdot\dfrac1i\right]}=n\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac1i}-n=n\cdot\left(S_n-1\right),$$因此当 $g(n)=n$ 时满足题意． 备注3