题目 已知函数 $g(x)=\dfrac{1}{x\sin\theta}+\ln x$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上为增函数，且 $\theta\in(0,\pi)$，$f(x)=mx-\dfrac{m-1}{x}-\ln x,m\in\mathbb R.$ 问题1 求 $\theta$ 的值； 答案1 $\dfrac{\pi}{2}$ 解析1 对 $g(x)$ 求导得\[g'(x)=\dfrac{x-\dfrac{1}{\sin\theta}}{x^2},\]根据题意，有$$\forall x\in[1,+\infty),x-\dfrac{1}{\sin\theta}\geqslant0 ,$$结合 $\theta\in(0,\pi)$，可知 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$． 备注1 问题2 若 $f(x)-g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为单调函数，求 $m$ 的取值范围； 答案2 $(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$ 解析2 结合第 $(1)$ 小问知$$F(x)=f(x)-g(x)=mx-\dfrac{m}{x}-2\ln x,$$求导得$$F'(x)=\dfrac{mx^2-2x+m}{x^2},$$根据题意，有\[\forall x\in [1,+\infty),mx^2-2x+m\geqslant 0,\]或\[\forall x\in [1,+\infty),mx^2-2x+m\leqslant 0,\]即\[\forall x\in [1,+\infty),m\geqslant \dfrac{2x}{x^2+1},\]或\[\forall x\in [1,+\infty),m\leqslant \dfrac{2x}{x^2+1},\]解得实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup [1,+\infty)$． 备注2 问题3 设 $h(x)=\dfrac{2\mathrm{e}}{x}$，若在 $[1,\mathrm{e}]$ 上最少存在一个 $x_0$，使得 $f(x_0)-g(x_0)>h(x_0)$ 成立，求 $m$ 的取值范围． 答案3 $\left(\dfrac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}^2-1},+\infty\right)$ 解析3 令 $Q(x)=f(x)-g(x)-h(x)$，整理得$$Q(x)=mx-\dfrac{m}{x}-2\ln x-\dfrac{2\mathrm{e}}{x},$$当 $m\leqslant0$ 时，可知$$\forall x\in[1,\mathrm{e}] , m\left(x-\dfrac1x\right)\leqslant0 ,\land -\dfrac{2\mathrm{e}}{x}-2\ln x<0,$$因此，$Q(x)<0$ 恒成立，不满足题意，舍去；<br/>当 $m>0$ 时，对 $Q(x)$ 求导得$$Q'(x)=\dfrac{mx^2+m+2\mathrm{e}-2x}{x^2},$$此时 $mx^2+m>0 , 2\mathrm{e}-2x\geqslant0$，故 $Q(x)$ 在 $[1,\mathrm{e}]$ 上单调递增，所以有$$\max\{Q(x)\}=Q(\mathrm{e})=m\mathrm{e}-\dfrac{m+2\mathrm{e}}{\mathrm{e}}-2>0,$$解得 $m>\dfrac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}^2-1}$，因此，实数 $m$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}^2-1},+\infty\right)$． 备注3