题目 已知函数 $f(x)=x^2-1$，函数 $g(x)=2t\ln x$，其中 $t\leqslant1$． 问题1 如果函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线均为 $l$，求切线 $l$ 的方程及 $t$ 的值； 答案1 $2x-y-2=0$；$t=1$ 解析1 对原函数求导得$$f'(x)=2x , g'(x)=\dfrac{2t}{x},$$因为两函数在 $x=1$ 处的切线相同，故$$f'(1)=g'(1), $$解得 $t=1$，再结合 $f(1)=0$，因此切线方程为 $2x-y-2=0$． 备注1 问题2 如果曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 有且仅有一个公共点，求 $t$ 的取值范围． 答案2 $(-\infty,0]\cup\{1\}$ 解析2 令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则题意等价于 $h(x)=x^2-2t\ln x-1$ 在定义域上有且仅有一个零点，注意到 $h(1)=0$，对 $h(x)$ 求导，得$$h'(x)=2x-\dfrac{2t}{x}=\dfrac{2}{x}(x^2-t),$$<case>情形一</case> 当 $t\leqslant0$ 时，$h'(x)\geqslant0$，此时 $h(x)$ 单调递增，结合 $h(1)=0$，符合题意；<br/><case>情形二</case> 当 $0<t\leqslant1$ 时，由 $h'(x)<0$，得 $x\in\left(0,\sqrt{t}\right)$，此时 $h(x)$ 单调递减；由 $h'(x)>0$，得 $x\in\left(\sqrt{t},+\infty\right)$，此时 $h(x)$ 单调递增；<br/>① 结合 $h(1)=0$，可知当 $t=1$ 时，符合题意；<br/>② 当 $0<t<1$ 时，结合 $h(1)=0$，可知函数 $h(x)$ 在 $(\sqrt{t},+\infty)$ 上，有唯一零点；<br/>接下来研究函数 $h(x)$ 在 $(0,\sqrt{t})$ 上零点情况，因为$$h(\sqrt{t})<h(1)=0 , h\left(\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2t}}\right)=\mathrm{e}^{-\dfrac1t}>0,$$再结合零点存在性定理，函数 $h(x)$ 在 $ (0,\sqrt{t})$ 上也存在一个零点，故不符合题意，舍去．<br/>综上所述，实数 $t$ 的取值范围为 $(-\infty,0]\cup\{1\}$． 备注2