已知函数 $f(x)=\dfrac1x+a\ln x$，其中 $a$ 为常数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案当 $a\leqslant0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,+\infty)$；
当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(0,\dfrac1a\right)$，单调递增区间为 $\left(\dfrac1a,+\infty\right)$解析原函数定义域为 $(0,+\infty)$，求导得$$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{a}{x}=\dfrac{ax-1}{x^2}.$$情形一 $a\leqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．情形二 $a>0$．此时\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&\left(0,\dfrac 1a\right)&\dfrac 1a&\left(\dfrac 1a,+\infty\right)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\min&\nearrow \\ \hline
\end{array}\] -
若对于 $\forall x\in[1,3]$，且 $x_1<x_2$，恒有 $\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}>\left|f(x_1)-f(x_2)\right|$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(0,\dfrac23\right]$解析题中不等式可变形为$$\dfrac{1}{x_22}-\dfrac{1}{x_1}<f(x_1)-f(x_2)<\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2},$$即$$\begin{cases}f(x_1)+\dfrac{1}{x_1}>f(x_2)+\dfrac{1}{x_2},\\ f(x_1)-\dfrac{1}{x_1}<f(x_2)-\dfrac{1}{x_2},\end{cases}$$因此问题转化为\[\begin{cases} \forall x\in [1,3],\left(f(x)+\dfrac 1x\right)'\leqslant 0,\\ \forall x\in [1,3],\left(f(x)-\dfrac 1x\right)'\geqslant 0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} \forall x\in [1,3],\dfrac{ax-2}{x^2}\leqslant 0,\\ \forall x\in [1,3],\dfrac ax\geqslant 0,\end{cases}\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 23\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
