已知 $A+B+C=\pi$，$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\cos A = 1$，求证：$\displaystyle \prod\limits_{cyc}\left( {1 - \cos A} \right) = 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有\[\begin{split} \sum\limits_{cyc}\cos A-1&=\cos A+\cos B+\cos C+\cos\pi\\
&=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\cos\dfrac{C+\pi}2\cos\dfrac{C-\pi}2\\
&=4\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2,\end{split}\]而\[\begin{split} \prod\limits_{cyc}\left( {1 - \cos A} \right)
&=\prod\limits_{cyc}\left( 2\sin^2\dfrac A2\right) \\
&=8\left(\prod\limits_{cyc}\sin\dfrac A2\right)^2\\
&=0.\end{split}\]
&=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\cos\dfrac{C+\pi}2\cos\dfrac{C-\pi}2\\
&=4\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2,\end{split}\]而\[\begin{split} \prod\limits_{cyc}\left( {1 - \cos A} \right)
&=\prod\limits_{cyc}\left( 2\sin^2\dfrac A2\right) \\
&=8\left(\prod\limits_{cyc}\sin\dfrac A2\right)^2\\
&=0.\end{split}\]
答案
解析
备注
