定长为 $d\left(d>\dfrac {2b^2}{a}\right)$ 的线段 $AB$ 的端点在双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右支上运动，求线段 $AB$ 中点 $M$ 横坐标的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{a(d+2a)}{2c}$
【解析】
设 $F(c,0)$ 是右焦点，点 $A(x_1,y_1)$，点 $B(x_2,y_2)$，离心率为 $e$，实轴长的一半为 $a$，则$$d\leqslant |AF|+|BF|=e(x_1+x_2)-2a.$$设 $AB$ 中点的横坐标为 $x$，则$$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\geqslant \dfrac{d+2a}{2e}=\dfrac{a(d+2a)}{2c}.$$当 $AB$ 过焦点时，上式取等，因此 $AB$ 弦中点的横坐标的最小值为 $\dfrac{a(d+2a)}{2c}$．
答案
解析
备注
