无

$5x^2-6xy+5y^2+4x-4y=0$，除 $\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ 外

设抛物线的焦点 $F(a,b)$，则抛物线上的点 $P(x,y)$ 满足条件$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\dfrac{|x-y+1|}{\sqrt2},$$因为原点 $O(0,0)$ 在抛物线上，所以$$\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac1{\sqrt2},$$即$$\mathrm{eq1}:a^2+b^2=\dfrac12,$$除去点 $\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$．此条件也保证了焦点 $F$ 和原点 $O$ 在准线 $l$ 的同一侧，即 $b<a+1.$ 所以焦点 $F$ 在以原点为圆心，半径为 $\dfrac1{\sqrt2}$ 的圆周上．下面计算焦点 $F$ 在准线 $l$ 上的投影 $D(x_0,y_0)$，即解方程组$$\begin{cases} y_0=x_0+1,\\
y_0-b=-(x_0-a),\end{cases}$$解得$$(x_0,y_0)=\left(\dfrac12(a+b-1),\dfrac12(a+b+1)\right),$$抛物线顶点记为 $A(X,Y)$，$A$ 为线段 $DF$ 的中点，所以$$(X,Y)=\left(\dfrac14(3a+b-1),
\dfrac14(a+3b+1)\right),$$即$$(a,b)=\left(
\dfrac12(3X-Y+1),\dfrac12(3Y-X-1)\right),$$代入 $\mathrm{eq1}$ 得$$5X^2-6XY+5Y^2+4X-4Y=0,$$所以抛物线顶点的方程是$$5x^2-6xy+5y^2+4x-4y=0,\left(x+\dfrac12\right)^2+\left(y-\dfrac12\right)^2\neq 0.$$