题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac{n}{t+1},n,t\in \mathbb N^\ast$，$t\geqslant 3,n\leqslant t$．证明： 问题1 $a_n<\mathrm{e}^{a_n-1}$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数； 答案1 略 解析1 由于$$\forall x\in \mathbb R, x\leqslant \mathrm{e}^{x-1},$$所以$$\forall n\in\mathbb N^\ast,a_n<\mathrm{e}^{a_n-1}.$$ 备注1 问题2 $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n}>(t+1){\ln}(n+1)$； 答案2 略 解析2 即证明$$\forall n\in \mathbb N^\ast,\sum_{k=1}^n\dfrac1k>{\ln}(n+1),$$由于$$\forall x>0,x>{\ln}(x+1),$$所以$$\sum_{k=1}^n\dfrac1k>\sum_{k=1}^n{\ln}\left(1+\dfrac1k\right)={\ln}(n+1).$$证毕． 备注2 问题3 $(a_1)^t+(a_2)^t+\cdots+(a_n)^t<1$． 答案3 略 解析3 根据题意有$$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{k}{t+1}\right)^t\\<br/>&=\sum_{k=1}^n\mathrm{e}^{t{\ln}\frac k{t+1}}\\<br/>&<\sum_{k=1}^n\mathrm{e}^{t\cdot \left(\frac k{t+1}-1\right)}\\<br/>&=\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{t+1}}\cdot \dfrac{1-\mathrm{e}^{\frac{nt}{t+1}}}{1-\mathrm{e}^{\frac t{t+1}}}\\<br/>&<\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{t+1}}\\<br/>&<1. \end{split}$$证毕． 备注3