已知实数 $a,b,c$ 满足不等式 $|a|\geqslant |b+c|$，$|b|\geqslant |c+a|$，$|c|\geqslant |a+b|$，求证：$a+b+c=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到问题的对称性，不妨设 $a,b,c$ 中非负数较多．
情形一 $a,b,c$ 中有 $3$ 个非负数，则 $a+b+c\geqslant 0$，且根据题意，有\[a+b+c\geqslant (b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),\]于是 $a+b+c=0$．
情形二 $a,b,c$ 中有 $2$ 个非负数，不妨设为 $a,b$，则此时第三个不等式即\[a+b+c\leqslant 0,\]于是\[b+c\leqslant -a\leqslant 0,\]因此由第一个不等式可得\[a\geqslant -(b+c),\]即\[a+b+c\geqslant 0,\]所以 $a+b+c=0$．
综上所述，原命题得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
