已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 的费马点，记 $PA$，$PB$，$PC$ 的长为 $x$，$y$，$z$，三角形的边长为 $a$，$b$，$c$．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据柯西不等式，有\[\begin{split} \sum_{cyc}{\sqrt{x^2+xy+y^2}\cdot\sqrt{x^2+xz+z^2}}&=\sum_{cyc}\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 3}2x\right)^2+\left(\dfrac 12x+y\right)^2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 3}2x\right)^2+\left(\dfrac 12x+z\right)^2} \\ &\geqslant \sum_{cyc}\left(\dfrac 34x^2+\dfrac 14x^2+\dfrac 12xy+\dfrac 12xz+yz\right) \\ &=(x+y+z)^2.\end{split} \]
答案
解析
备注
