已知非钝角三角形 $ABC$ 的三个内角满足 $\cos^2A+\cos^2B=\sin C$，求证：$C$ 为直角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1+\cos 2A}2+\dfrac{1+\cos 2B}2=\sin C,\]于是\[1+\dfrac 12\left(\cos 2A+\cos 2B\right)=\sin C,\]和差化积得\[1+\cos(A+B)\cdot\cos(A-B)=\sin C,\]因此\[1-\cos (A-B)\cdot \cos C=\sin C.\]若 $C\ne\dfrac{\pi}2$，则\[\cos(A-B)=\dfrac{1-\sin C}{\cos C},\]而由 $A+B=\pi-C$ 可得\[A-B<\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac{\pi}2-C\right)=C,\]进而 $\cos (A-B)$ 的取值范围是 $\left(\cos C,1\right]$．因此\[\cos C<\dfrac{1-\sin C}{\cos C}\leqslant 1,\]进而\[\sin C<1-\cos^2C=\sin^2C,\]矛盾．
因此 $C$ 为直角．
因此 $C$ 为直角．
答案
解析
备注
