已知非钝角三角形 $ABC$ 的三个内角满足 $\cos^2A+\cos^2B=\sin C$，求证：$C$ 为直角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由三角形中的恒等式知$$cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C,$$于是有$$1-2\cos A\cos B\cos C-\cos^2C=\sin C,$$整理得$$2\cos A\cos B\cos C=\sin^2C-\sin C=\sin C\cdot(\sin C-1)\leqslant 0.$$又因为 $\triangle ABC$ 非钝角三角形，所以$$\sin C(\sin C-1)＝2\cos A\cos B\cos C\geqslant 0,$$从而有 $\sin C(1-\sin C)=0$，于是 $C$ 为直角．
答案
解析
备注
